java – 如何确定多项式逼近中的这些系数?

背景:我在Java中编写几何几何软件.我需要Java的BigDecimal类提供的精度.由于BigDecimal不支持trig函数,我以为我会看看Java如何实现标准的Math库方法,并用BigDecimal支持编写我自己的版本.

阅读this JavaDoc,我学到Java使用算法“从知名的网络库netlib作为包”Freely Distributable Math Library“,fdlibm.这些以C编程语言编写的算法然后被理解为执行所有浮点运算遵循Java浮点运算规则.

我的问题:我查看了fblibm的sin函数k_sin.c,看起来他们使用13阶的泰勒级数近似正弦(编辑 – njuffa评论fdlibm使用极小值多项式逼近).该代码将多项式的系数定义为S1至S6.我决定检查这些系数的值,发现S6只对一个有效数字是正确的!我希望它是1 /(13!),哪个Windows计算器和Google Calc告诉我是1.6059044 … e-10,而不是1.58969099521155010221e-10(这是代码中S6的值).即使S5在第五位数与1 /(11!)不同.有人可以解释这个差异吗?具体来说,那些系数(S1至S6)如何确定?

/* @(#)k_sin.c 1.3 95/01/18 */
/*
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 *
 * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
 * software is freely granted, provided that this notice 
 * is preserved.
 * ====================================================
 */

/* __kernel_sin( x, y, iy)
 * kernel sin function on [-pi/4, pi/4], pi/4 ~ 0.7854
 * Input x is assumed to be bounded by ~pi/4 in magnitude.
 * Input y is the tail of x.
 * Input iy indicates whether y is 0. (if iy=0, y assume to be 0). 
 *
 * Algorithm
 *  1. Since sin(-x) = -sin(x), we need only to consider positive x. 
 *  2. if x < 2^-27 (hx<0x3e400000 0), return x with inexact if x!=0.
 *  3. sin(x) is approximated by a polynomial of degree 13 on
 *     [0,pi/4]
 *                   3            13
 *      sin(x) ~ x + S1*x + ... + S6*x
 *     where
 *  
 *  |sin(x)         2     4     6     8     10     12  |     -58
 *  |----- - (1+S1*x +S2*x +S3*x +S4*x +S5*x  +S6*x   )| <= 2
 *  |  x                               | 
 * 
 *  4. sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')*y
 *          ~ sin(x) + (1-x*x/2)*y
 *     For better accuracy, let 
 *           3      2      2      2      2
 *      r = x *(S2+x *(S3+x *(S4+x *(S5+x *S6))))
 *     then                   3    2
 *      sin(x) = x + (S1*x + (x *(r-y/2)+y))
 */

#include "fdlibm.h"

#ifdef __STDC__
static const double 
#else
static double 
#endif
half =  5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
S1  = -1.66666666666666324348e-01, /* 0xBFC55555, 0x55555549 */
S2  =  8.33333333332248946124e-03, /* 0x3F811111, 0x1110F8A6 */
S3  = -1.98412698298579493134e-04, /* 0xBF2A01A0, 0x19C161D5 */
S4  =  2.75573137070700676789e-06, /* 0x3EC71DE3, 0x57B1FE7D */
S5  = -2.50507602534068634195e-08, /* 0xBE5AE5E6, 0x8A2B9CEB */
S6  =  1.58969099521155010221e-10; /* 0x3DE5D93A, 0x5ACFD57C */

#ifdef __STDC__
    double __kernel_sin(double x, double y, int iy)
#else
    double __kernel_sin(x, y, iy)
    double x,y; int iy;     /* iy=0 if y is zero */
#endif
{
    double z,r,v;
    int ix;
    ix = __HI(x)&0x7fffffff;    /* high word of x */
    if(ix<0x3e400000)           /* |x| < 2**-27 */
       {if((int)x==0) return x;}        /* generate inexact */
    z   =  x*x;
    v   =  z*x;
    r   =  S2+z*(S3+z*(S4+z*(S5+z*S6)));
    if(iy==0) return x+v*(S1+z*r);
    else      return x-((z*(half*y-v*r)-y)-v*S1);
}
最佳答案
我们可以使用trig标识来将所有内容都归结为0≤x≤π/ 4,然后需要一种在该间隔近似sin x的方法.在0≤x≤2-27,我们可以坚持使用sinx≈x(泰勒多项式也可以在双精度的公差内).

不使用泰勒多项式的原因是算法注释的第3步.泰勒多项式给出(可证明)精度接近于零,代价是从零开始时的精度较低.当你达到π/ 4时,第13阶泰勒多项式(除以x)与(sin x)/ x乘以3e-14不同.这比fblibm的错误2-58差.为了使用泰勒多项式得到准确的数据,你需要去(π/ 4)n-1 / n! < 2-58,需要另外2或3个术语.

那么为什么fblibm的精确度为2-58?因为已经超过了一个双倍的宽容(其尾数只有52位).

在你的情况下,你想要任意多少的罪x.要使用fblibm的方法,只要您希望的精度发生变化,就需要重新计算系数.你最好的方法似乎是坚持泰勒多项式为0,因为它很容易计算,并且直到(π/ 4)n-1 / n为止!满足您所需的准确度.

njuffa有一个有用的想法,使用身份来进一步限制您的域.例如,sin(x)= 3 * sin(x / 3)-4 * sin ^ 3(x / 3).使用此操作可以让您将域限制为0≤x≤π/ 12.您可以使用它两次将您的域限制为0≤x≤π/ 36.这样做会使您的泰勒扩张更快地获得您所需的准确度.而不是试图获得(π/ 4)n-1 / n!的任意精确的π值,我建议将π四舍五入到直到1 / n!满足您所需的准确度(或3-n / n!或9-n / n!

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